jueves, 21 de mayo de 2009
Característica
La característica de un logaritmo común indica la posición de la coma decimal en el número asociado. La característica para determinado número se halla por observación. Se recordará que un logaritmo común es simplemente un exponente de la base 10.
Cuando escribimos log 360 = 2,55630, entendemos que esto significa 102,55630 = 360. Sabemos que el número es 360 y no 36 ó 3600 debido a que la característica es 2. Sabemos que 101 es 10, 102 es, 100 y 103 es 1000. Por tanto, el número cuyo valor es 102,55630 estará comprendido entre 100 y 1000 y entonces todo número en ese rango tiene tres dígitos.Supongamos que la característica ha sido 1: ¿dónde se colocará la coma decimal del número? Puesto que 101 es 10 y que 102 es 100 todo número cuyo logaritmo esté entre 1 y 2 deberá hallarse comprendido entre 10 y 100 y tendrá 2 dígitos.
Observe cómo cambia la posición de la coma decimal con el valor de la característica en los siguientes ejemplos:
log 36.000 = 4,55630
log 3.600 = 3,55630
log 360 = 2,55630
log 36 = 1,55630
log 3,6 = 0,55630
Note que cuando se corre la coma decimal sólo cambia la característica. De aquí se desprende una ventaja de usar la base 10: si se conoce la característica, la coma decimal se ubica fácilmente, Si se conoce el número, la característica se determina por observación; es decir, observando la colocación de la coma decimal.
Si bien la comprensión de la relación de la característica respecto de la potencia de 10 es necesaria para el total conocimiento de los logaritmos, la característica podrá determinarse mecánicamente con la aplicación de la siguiente regla:
1. Para un numero mayor que 1, la característica es positiva y es uno menos que el número de dígitos a la izquierda de la coma decimal del número.
2. Para un número positivo menor que 1, la característica es negativa y tiene un valor absoluto 1 más que el número de ceros entre la coma decimal y el primer dígito no cero del número.
CARACTERÍSTICAS NEGATIVAS
Cuando una característica es negativa, tal como -2, no hacemos la sustracción, ya que ésta implicaría una mantisa negativa. Hay varias formas de señalar una característica negativa. Las mantisas, tal como se presentan en las tablas del apéndice, son siempre positivas y el signo de la característica se indica separadamente. Por ejemplo, ; la barra sobre el 2 señala que sólo la característica es negativa; vale decir que el logaritmo es -2 + 0,36173.
Otra forma de indicar la característica negativa es colocándola después de la mantisa. En ese caso escribimos 0,36173 -2.
Un tercer método, que en este capítulo se usa cuando es posible, consiste en sumar cierta cantidad a. la característica y restar la misma cantidad a la derecha en la mantisa. En el caso del ejemplo podemos escribir:
En esta forma el valor del logaritmo permanece inalterado, pero ahora tenemos característica y mantisa positivas.
Mantisa
La mantisa es la parte decimal del logaritmo. Las tablas de logaritmos contienen por lo general sólo las mantisas, puesto que la característica se determina fácilmente, como se explicó antes. La tabla 8-6 señala la característica, mantisa y logaritmo para diversas posiciones de la coma decimal usando la secuencia de dígitos 4, 5, 6. Se notará que la mantisa no cambia para esta secuencia particular de dígitos, independientemente de la posición de la coma decimal.
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas19.htm
La característica de un logaritmo común indica la posición de la coma decimal en el número asociado. La característica para determinado número se halla por observación. Se recordará que un logaritmo común es simplemente un exponente de la base 10.
Cuando escribimos log 360 = 2,55630, entendemos que esto significa 102,55630 = 360. Sabemos que el número es 360 y no 36 ó 3600 debido a que la característica es 2. Sabemos que 101 es 10, 102 es, 100 y 103 es 1000. Por tanto, el número cuyo valor es 102,55630 estará comprendido entre 100 y 1000 y entonces todo número en ese rango tiene tres dígitos.Supongamos que la característica ha sido 1: ¿dónde se colocará la coma decimal del número? Puesto que 101 es 10 y que 102 es 100 todo número cuyo logaritmo esté entre 1 y 2 deberá hallarse comprendido entre 10 y 100 y tendrá 2 dígitos.
Observe cómo cambia la posición de la coma decimal con el valor de la característica en los siguientes ejemplos:
log 36.000 = 4,55630
log 3.600 = 3,55630
log 360 = 2,55630
log 36 = 1,55630
log 3,6 = 0,55630
Note que cuando se corre la coma decimal sólo cambia la característica. De aquí se desprende una ventaja de usar la base 10: si se conoce la característica, la coma decimal se ubica fácilmente, Si se conoce el número, la característica se determina por observación; es decir, observando la colocación de la coma decimal.
Si bien la comprensión de la relación de la característica respecto de la potencia de 10 es necesaria para el total conocimiento de los logaritmos, la característica podrá determinarse mecánicamente con la aplicación de la siguiente regla:
1. Para un numero mayor que 1, la característica es positiva y es uno menos que el número de dígitos a la izquierda de la coma decimal del número.
2. Para un número positivo menor que 1, la característica es negativa y tiene un valor absoluto 1 más que el número de ceros entre la coma decimal y el primer dígito no cero del número.
CARACTERÍSTICAS NEGATIVAS
Cuando una característica es negativa, tal como -2, no hacemos la sustracción, ya que ésta implicaría una mantisa negativa. Hay varias formas de señalar una característica negativa. Las mantisas, tal como se presentan en las tablas del apéndice, son siempre positivas y el signo de la característica se indica separadamente. Por ejemplo, ; la barra sobre el 2 señala que sólo la característica es negativa; vale decir que el logaritmo es -2 + 0,36173.
Otra forma de indicar la característica negativa es colocándola después de la mantisa. En ese caso escribimos 0,36173 -2.
Un tercer método, que en este capítulo se usa cuando es posible, consiste en sumar cierta cantidad a. la característica y restar la misma cantidad a la derecha en la mantisa. En el caso del ejemplo podemos escribir:
En esta forma el valor del logaritmo permanece inalterado, pero ahora tenemos característica y mantisa positivas.
Mantisa
La mantisa es la parte decimal del logaritmo. Las tablas de logaritmos contienen por lo general sólo las mantisas, puesto que la característica se determina fácilmente, como se explicó antes. La tabla 8-6 señala la característica, mantisa y logaritmo para diversas posiciones de la coma decimal usando la secuencia de dígitos 4, 5, 6. Se notará que la mantisa no cambia para esta secuencia particular de dígitos, independientemente de la posición de la coma decimal.
http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas19.htm
Logaritmos decimales
Los logaritmos de base 10, se llaman logaritmos decimales. Normalmente, estos logaritmos se simbolizan por log, sin indicar la base.
En el valor de un logaritmo decimal pueden distinguirse dos partes complementarias:
La característica, que expresa el orden de magnitud de esta cantidad y tiene valores enteros.
La mantisa, o parte marginal del logaritmo, que expresa su componente decimal.
Por ejemplo, el logaritmo del número 100 es 2, por lo que sólo tiene característica (igual a 2) y su mantisa es nula. En cambio, el logaritmo del número 2 es 0,301030, característica igual a 0 y mantisa 301030.
Los logaritmos de números mayores o iguales que 1 y menores que 10 tienen característica 0.
Los logaritmos de números mayores o iguales que 10 y menores que 100 tienen característica 1.
Los de los números mayores o iguales que 100 y menores que 1000 tienen característica 2, y así sucesivamente.
En cambio, los logaritmos de los números menores que 1 tienen característica negativa.
Por otra parte, la mantisa de los números que sólo difieren entre sí en potencias de 10 tienen igual mantisa. Por ejemplo:
mantisa (log 2) = mantisa (log 20) = mantisa (log 200) =?= mantisa (log 0,2) = = mantisa (log 0,02) = mantisa (log 0,002) = ?
Los logaritmos de base 10, se llaman logaritmos decimales. Normalmente, estos logaritmos se simbolizan por log, sin indicar la base.
En el valor de un logaritmo decimal pueden distinguirse dos partes complementarias:
La característica, que expresa el orden de magnitud de esta cantidad y tiene valores enteros.
La mantisa, o parte marginal del logaritmo, que expresa su componente decimal.
Por ejemplo, el logaritmo del número 100 es 2, por lo que sólo tiene característica (igual a 2) y su mantisa es nula. En cambio, el logaritmo del número 2 es 0,301030, característica igual a 0 y mantisa 301030.
Los logaritmos de números mayores o iguales que 1 y menores que 10 tienen característica 0.
Los logaritmos de números mayores o iguales que 10 y menores que 100 tienen característica 1.
Los de los números mayores o iguales que 100 y menores que 1000 tienen característica 2, y así sucesivamente.
En cambio, los logaritmos de los números menores que 1 tienen característica negativa.
Por otra parte, la mantisa de los números que sólo difieren entre sí en potencias de 10 tienen igual mantisa. Por ejemplo:
mantisa (log 2) = mantisa (log 20) = mantisa (log 200) =?= mantisa (log 0,2) = = mantisa (log 0,02) = mantisa (log 0,002) = ?
PARTES DE UN LOGARITMO
El logaritmo decimal de un número (por ejemplo log 3510 = 3,545307...) tiene una parte entera y una parte decimal. A la parte entera (en nuestro ejemplo 3) se le llama característica del logaritmo y a la parte decimal (en nuestro ejemplo 545307) mantisa del logaritmo.
BREVE RESEÑA HISTORICA
El logarítmo en base a de un número n, es otro número b, tal que cumple esta ecuación: ab = n. Dicho matemáticamente loga n = b ==> ab = n. Hace no muchos años, no había ordenadores, ni calculadoras, y por lo tanto multiplicar y dividir (y muchisimo mas la exponenciación) cuando los números implicados eran grandes, era una tarea árdua (y casi seguro que se cometían errores). Con los logarítmos las multiplicaciones se convierten en sumas, las divisiones en restas y la exponenciación en multiplicaciones, con lo que se facilitaban mucho las operaciones. Una vez obtenido el resultado se calculaba el antilogarítmo para obtener el numero real. Los logaritmos se atribuyen a John Napier. Publicó su trabajo en 1614 en el libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descripción de la maravillosa regla de los logaritmos). Napier era un terrateniente escocés (no era por lo tanto, un profesional de las matemáticas). Napier seguramente estudió las sucesiones de las potencias de un número y se percató que los productos y cocientes de dos números de dichas sucesiones son iguales a las potencias de las sumas o diferencias de los exponentes de dichos números (an.am = a(n+m)). Pero estas sucesiones no resultaban útiles para el cálculo porque entre dos potencias sucesivas había un hueco muy grande y la interpolación que había que hacer era muy imprecisa. Para conseguir que los términos de la progresión geométrica formada por las potencias enteras de un número estuviesen proximas, tomó un número muy próximo a 1 (Napier tomó el número 0,9999999 = 1- 10-7). Para evitar el uso de decimales multiplicó todas las potencias por 107. Entonces cualquier número a = 107(1-10-7)b . b sería el logaritmo de a. Napier llamó al principio a estos número artificiales, pero mas tarde se decidió por la unión de dos palabras griegas logos (razón) y arithmos (número). Este sistema de cálculo fue aceptado con gran rapidez. Entre los mas entusiastas estaba Henry Briggs. Briggs visitó a Napier en 1615 y entre los dos vieron la posibilidad de hacer algunas modificaciones. Briggs, en vez de tomar un número muy próximo a 1, partió de la igualdad log 10 = 1 y después fue calculando otros logartimos tomando raices sucesivamente (como la raiz cuadrada de 10 es 3,1622, entonces el logaritmo de 3,1622 es 2). En 1617 publicó Logarithnmorum chilias prima (Logaritmos de los números 1 al 1000) y en 1624 publicó Arithmetica logarithmica. Ejemplo: El logaritmo decimal de un número (por ejemplo log 3510 = 3,545307...) tiene una parte entera y una parte decimal. A la parte entera (en nuestro ejemplo 3) se le llama característica del logaritmo y a la parte decimal (en nuestro ejemplo 545307) mantisa del logaritmo.
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